微分几何是三年级的课程。
不过对于老傅来说，提前一些时间学点微分几何而已，算不了什么。
当年他才读大一就雄心勃勃一个人去挑战代数几何。
只是后来发生了一点变故，让他的数学大业中道崩殂。
长那么丑，学人家搞代数几何，真下头！
自己是因为这句话才出师不利身先死的吗？
好吧，当初的自己的确很不成熟。
内心深处或许并不是因为真的对代数几何这些数学内容本身感兴趣，纯粹只是听说只有搞代数几何的，才配站在纯数鄙视链顶端。
然后看了点交换代数代数簇，知道了点类域论导出范畴就到处夸夸其谈。
在别人听说自己在学代数几何后，眼神中流露出钦佩的赞美时，享受那一种所谓的智商上的优越感。
也因为并不是真的喜欢，于是被讽刺了几句就逃到了游戏里面，不敢面对，最后连学位证书都没有拿到。
如果真的是初学者的话，我唯一的建议是，花四年时间把本科数学课程按部就班学一遍再说。
不过话说回来，这位陆兮同学貌似才高一。
高一就进军微分几何，比自己大一尝试代数几何还要超前得多
偏偏他几个问题问下来，陆兮同学的回答都是那么的流利精准，毫无破绽。
比如她提到“流形”时，他几乎能感受到她在讲述这一概念时的成熟感。
这并不像一个仅仅知道定义和公式的学生，而更像是一个已经深入了解这些内容，甚至有过数学研究经验的人。
完全不是那种为了显得自己很牛逼，故弄玄虚的二流子。
可这位陆兮同学才读高一啊。
一个完全没有接受过任何专业训练的素人。
那就只能这样了。
习题集，去吧。
老傅面对勇猛精进的陆兮同学的，排出了三道大题。
他要验一验陆兮同学的成色，是不是如她所展现出来的那样无懈可击。
第一道题：“设M是一个2-维流形，证明流形上的切空间与法向量空间的关系。”
第二道题：“在黎曼流形上，给定一个光滑向量场 X，定义 X的散度并证明其与测地线的性质之间的关系。”
第三道题：“给定一个 n-维流形M，在其上给定一个黎曼度量g。证明度量g可以被唯一扩展到整个M上，使得在每一个局部坐标系下都满足度量条件。”
他后来没拿到学位证书，被已经佝偻了腰的父亲领回去，他才幡然醒悟。
一个人宅在家里，将大学的课程系统性地自学了很长一段时间。
这些题都曾在他的自学笔记里里面。
他如数家珍，烂熟于心。
比如第一道的考核，要求对微分流形的基本概念，如切空间和法向量空间有很好的理解。
属于入门级别的问题。
但如果仅仅刚接触到流形的概念，还是有一定难度的。
因为这道题的解法涉及多个抽象概念的综合运用。
第二道就开始真正现出难度了。
首先，理解黎曼流形上向量场散度的定义就需要一定的基础。它涉及到黎曼度量、局部坐标系下的张量运算以及行列式的知识。
要熟练掌握在局部坐标系下对向量场的表示，并且理解散度定义式中每一项的含义，更需要对黎曼几何中的度量张量及其行列式有深入的理解。
到这里，才仅仅只是理解概念的第一步。
第二步，建立散度与测地线性质之间的关系才是真正有挑战性的东西。
这需要熟悉测地线的定义，并且能够将向量场与测地线周围的几何变化联系起来。
理解由向量场生成的单参数微分同胚群对体积的影响，并通过李导数的性质来推导与测地线周围管状邻域体积变化的关系。
这涉及到较为抽象的几何和分析概念。
最后，证明的过程，要将抽象的数学概念和计算与几何直观相结合，需要对黎曼几何、张量分析以及微分方程等多个领域的知识进行综合运用。
至于第三道，要求理解黎曼度量的本质，如何通过局部坐标系来讨论度量的延拓性和唯一性。
仅仅只是证明思路的构建就很复杂。
因为利用局部坐标的相容性和单位分解来证明度量的可扩展性可不是直观易想的方法。
需要理解在不同局部坐标系下度量的变换关系，而这种变换涉及到切向量的坐标变换以及度量系数的相应变化。
单位分解定理本身也是一个相对抽象的工具，理解如何利用单位分解将局部定义的黎曼度量拼接成在整个流形上定义的度量需要比较强的抽象思维能力。
并且在拼接过程中，要验证拼接后的度量仍然满足对称性、双线性和正定性这些度量的基本条件，这需要仔细地推导和验证。
最后的证明过程细节也极多。
例如，在验证局部度量的性质时，需要在局部坐标系下对切向量进行具体的运算，并且在证明度量的变换关系时，要正确地运用链式法则等知识进行坐标变换的推导。
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